Идеальные газы. Законы идеального газа. Уравнение Менделеева - Клапейрона
Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р , объемом V и температурой Т . Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением
f (p , V , T ) = 0 ,
где каждая из переменных является функцией двух других.
Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799-1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля - Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V 1 , имеет давление p 1 и находится при температуре Т 1 . Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами p 2 , V 2 , Т 2 (рис.63). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов:
1) изотермического (изотерма 1 - 1 /),
2) изохорного (изохора 1 / - 2).
В соответствии с законами Бойля - Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) запишем:
Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) , получим
Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа
. (42.3)
Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона , в котором В - газовая постоянная, различная для разных газов.
Русский ученый Д. И. Менделеев (1834-1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (42.3) к одному молю, использовав молярный объем V m . Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m , поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной . Уравнению
удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа , называемым также уравнением Клапейрона - Менделеева .
Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях ( = 1,013×10 5 Па, = 273,15 K, = 22,41×10 -3 м 3 /моль): R = 8,31 Дж/(моль×К).
От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона - Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давлении и температуре один моль газа занимает молярный объем V m , то при тех же условиях масса m газа займет объем V = (m/M) V m , где М - молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы - килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона - Менделеева для массы m газа
где = m/M - количество вещества.
Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана : = 1,38×10 -23 Дж/К.
Исходя из этого, уравнение состояния (42.4) запишем в виде
где - концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения
следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта (И. Лошмидт (1821-1895) - австрийский химик и физик): 2,68×10 25 м -3 .
Каждый школьник, учащийся в десятом классе, на одном из уроков физики изучает закон Клапейрона-Менделеева, его формулу, формулировку, учится применению при решении задач. В технических университетах эта тема тоже входит в курс лекций и практических работ, причем в нескольких дисциплинах, а не только на физике. Закон Клапейрона-Менделеева активно используется в термодинамике при составлении уравнений состояния идеально газа.
Термодинамика, термодинамические состояния и процессы
Термодинамика представляет собой раздел физики, который посвящен изучению общих свойств тел и тепловых явлений в этих телах без учета их молекулярного строения. Давление, объем и температура являются основными величинами, учитывающимися при описании тепловых процессов в телах. Термодинамическим процессом называется изменение состояния системы, т. е. изменение ее основных величин (давление, объем, температура). В зависимости от того, происходят ли изменения основных величин, системы бывают равновесными и неравновесными. Процессы тепловые (термодинамические) можно так классифицировать. То есть если система переходит из одного равновесного состояния в другое, то такие процессы называются, соответственно, равновесными. Неравновесные процессы, в свою очередь, характеризуются переходами неравновесных состояний, то есть основные величины претерпевают изменения. Однако можно их (процессы) разделить на обратимые (возможен обратный переход через те же состояния) и необратимые. Все состояния системы можно описать определенными уравнениями. Для упрощения расчетов в термодинамике вводится такое понятие, как идеальный газ - некая абстракция, которая характеризуется отсутствием взаимодействия на расстоянии между молекулами, размерами которых можно пренебречь ввиду их малого размера. Основные газовые законы и уравнение Менделеева-Клапейрона тесно взаимосвязаны - все законы вытекают из уравнения. Они описывают изопроцессы в системах, то есть такие процессы, в результате которых один из основных параметров остается неизменным (изохорный процесс - не изменяется объем, изотермический - постоянна температура, изобарный - происходит изменение температуры и объема при постоянстве давления). Закон Клапейрона-Менделеева стоит разобрать подробнее.
Уравнение состояния идеального газа
Закон Клапейрона-Менделеева выражает зависимость между давлением, объемом, температурой, количеством вещества именно идеального газа. Можно так же выразить зависимость только между основными параметрами, то есть абсолютной температурой, молярным объемом и давлением. Суть не изменяется, так как молярный объем равен отношению объема к количеству вещества.
Закон Менделеева-Клапейрона: формула
Уравнение состояния идеального газа записывается в виде произведения давления на молярный объем, приравненного к произведению универсальной газовой постоянной и абсолютной температуры. Универсальная газовая постоянная - коэффициент пропорциональности, константа (неизменная величина), выражающая работу расширения моля в процессе увеличения значения температуры на 1 Кельвин в условиях изобарного процесса. Ее величина составляет (приблизительно) 8,314 Дж/(моль*К). Если выразить молярный объем, то получится уравнение вида: р*V=(m/М)*R*Т. Или можно привести к виду: р=nkT, где n - концентрация атомов, к - постоянная Больцмана (R/N А).
Решение задач
Закон Менделеева-Клапейрона, решение задач с его помощью значительно облегчают расчетную часть при проектировании оборудования. Закон при решении задач применяется в двух случаях: задано одно состояние газа и его масса и при неизвестности величины массы газа известен факт ее изменения. Необходимо учитывать, что в случае многокомпонентных систем (смеси газов) записывается уравнение состояния для каждого компонента, т. е. для каждого газа в отдельности. Для установления связи между давлением смеси и давлениями компонентов используется закон Дальтона. Также стоит помнить, что для каждого состояния газа описывается отдельным уравнением, далее решается уже полученная система уравнений. И, наконец, необходимо всегда помнить, что в случае уравнения состояния идеального газа температура является абсолютной величиной, ее значение обязательно берется в Кельвинах. Если в условиях задачи температура измеряется в градусах Цельсия или в каких-либо других, то необходимо произвести перевод в градусы Кельвина.
Газовые законы. Уравнение Менделеева-Клапейрона.
Экспериментальное исследование свойств газов, проведенное в ХVII-XVIII вв. Бойлем, Мариоттом, Гей-Люссаком, Шарлем, привело к формулировке газовых законов.
1. Изотермический процесс – Т= const.
Закон Бойля-Мариотта: pV =const.
График зависимости p от V приведен на рис.2.1. Чем выше изотерма, тем более высокой температуре она соответствует, T 2 >T 1 .
2. Изобарный процесс– p = const.
Закон Гей-Люссака: .
График зависимости V от T приведен на рис. 2.2. Чем ниже к оси температуры наклонена изобара, тем большему давлению она соответствует, р 2 > p 1 .
3. Изохорный процесс– V =const.
Закон Шарля: .
График зависимости р от Т изображен на рис 2.3. Чем ниже к оси температуры наклонена изохора, тем большему объему она соответствует, V 2 > V 1 .
Комбинируя выражения газовых законов, получим уравнение, связывающее р, V , Т (объединенный газовый закон): .
Постоянная в этом уравнении определяется экспериментально. Для количества вещества газа 1 моль она оказалась равной R=8,31 Дж/(моль×К) и была названа универсальной газовой постоянной.
1 моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг. Число молекул (структурных единиц) в 1 моле равно числу Авогадро: N A =6,02.10 23 моль -1 . Для R справедливо соотношение: R=k N A
Итак, для одного моля: .
Для произвольного количества газа n = m/m , где m - молярная масса газа. В результате получим уравнение состояния идеального газа, или уравнение Менделеева-Клапейрона .
Это уравнение справедливо для всех газов в любых количествах и для всех значений P, V и T, при которых газы можно считать идеальными
где R – универсальная газовая постоянная;
R=8,314 Дж / моль к =0,0821 л а.е.м./ моль к
Состав газовых смесей выражают при помощи объёмной доли – отношении объёма данного компонента к общему объёму смеси
где -объёмная доля компонента X, V(x) – объём компонента X; V – объём системы.
Объёмная доля – безразмерная величина, её выражают в долях от единицы или в процентах.
IV. Примеры решения задач.
Задача 1 . Какой объём занимают 0,2 моль любого газа при н.у.?
Решение: Количество вещества определяется по формуле:
Задача 2 . Какой объём при н.у. занимает 11г. углекислого газа?
Решение: Количество вещества определяется
Задача 3 . Рассчитайте относительную плотность хлороводорода по азоту, по водороду, по воздуху.
Решение: Относительная плотность определятся по формуле:
Задача 4 .Вычисление молекулярной массы газа по заданному объёму.
Масса 327 мл газа при 13 0 С и давлении 1,04*10 5 Па равна 828 г.
Вычислить молекулярную массу газа.
Решение: Вычислить молекулярную массу газа можно, используя уравнение Менделеева-Клапейрона:
Величина газовой постоянной определяется принятыми единицами измерения. Если давление измеряется в Па, а объём в м 3 , то .
Задача 5 . Вычисление абсолютной массы в молекуле вещества.
1. Определите массу молекулы газа, если масса 1 л газа при н.у. равна 1,785г.
Решение: Исходя из молекулярного объёма газа определяем массу моля газа
где m – масса газа;
M – молярная масса газа;
Vm – молярный объём, 22,4л/моль;
V – объём газа.
2. Число молекул в моле любого вещества равно постоянной Авогадро (). Следовательно, число молекулm равна:
Задача 6 . Сколько молекул содержится в 1 мл водорода при н.у.?
Решение: Согласно закону Авогадро 1 моль газа при н.у. занимает объём 22,4 л, 1 моль газа содержит (моль -1) молекул.
в22,4 л содержится 6,02*10 23 молекул
в 1 мл водорода содержится X молекул
Задача 7 . Вывод формул.
I. Органическое вещество содержит углерод (массовая доля 84,21%) и водород (15,79%). Плотность паров вещества по воздуху составляет 3,93.
Определить формулу вещества.
Решение: Представляем формулу вещества в виде CxHy.
1. Рассчитаем молярную массу углеводорода, используя плотность по воздуху.
2. Определяем количество вещества углерода и водорода
II. Определить формулу вещества. При содержании 145 г его, получено 330 г CO 2 и 135 г H 2 O. Относительная плотность пара этого вещества по водороду равна 29.
1. Определяем массу неизвестного вещества:
2. Определяем массу водорода:
2.2. Определяем массу углерода:
2.3. Определяем, есть ли третий элемент – кислород.
Т.о. m(O) = 40г
Чтобы выразить полученное уравнение целыми числами (т.к. это количество атомов в молекуле) разделим все его числа на меньшее из них
Тогда простейшая формула неизвестного вещества C 3 H 6 O.
2.5. → простейшая формула и есть искомое неизвестное вещество.
Ответ: C 3 H 5 O
Задача 8 : (Решить самостоятельно)
Соединение содержит 46,15% углерода, остальное азот. Плотность по воздуху равна 1,79.
Найти истинную формулу соединения.
Задача 9 : (решить самостоятельно)
Одинаковое ли число молекул
а) в 0,5 г азота и 0,5 г метана
б) в 0,5 л азота и 0,5 л метана
в) в смесях 1,1 г CO 2 и 2,4 г озона и 1,32 г CO 2 и 2,16 г озона
Задача 10 : Относительная плотность галогеноводорода по воздуху 2,8. Определить плотность этого газа по воздуху и назовите его.
Решение: согласно закону газового состояния , т.е. отношение молярной массы галогеноводорода (M (HX)) к молярной массе воздуха (M ВОЗД) равно 2,8 →
Тогда молярная масса галогена:
→ X – это Br, а газ – бромоводород.
Относительная плотность бромоводорода по водороду:
Ответ: 40,5, бромоводород.
Каждый школьник, учащийся в десятом классе, на одном из уроков физики изучает закон Клапейрона-Менделеева, его формулу, формулировку, учится применению при решении задач. В технических университетах эта тема тоже входит в курс лекций и практических работ, причем в нескольких дисциплинах, а не только на физике. Закон Клапейрона-Менделеева активно используется в термодинамике при составлении уравнений состояния идеально газа.
Термодинамика, термодинамические состояния и процессы
Термодинамика представляет собой раздел физики, который посвящен изучению общих свойств тел и тепловых явлений в этих телах без учета их молекулярного строения. Давление, объем и температура являются основными величинами, учитывающимися при описании тепловых процессов в телах. Термодинамическим процессом называется изменение состояния системы, т. е. изменение ее основных величин (давление, объем, температура). В зависимости от того, происходят ли изменения основных величин, системы бывают равновесными и неравновесными. Процессы тепловые (термодинамические) можно так классифицировать. То есть если система переходит из одного равновесного состояния в другое, то такие процессы называются, соответственно, равновесными. Неравновесные процессы, в свою очередь, характеризуются переходами неравновесных состояний, то есть основные величины претерпевают изменения. Однако можно их (процессы) разделить на обратимые (возможен обратный переход через те же состояния) и необратимые. Все состояния системы можно описать определенными уравнениями. Для упрощения расчетов в термодинамике вводится такое понятие, как идеальный газ - некая абстракция, которая характеризуется отсутствием взаимодействия на расстоянии между молекулами, размерами которых можно пренебречь ввиду их малого размера. Основные газовые законы и уравнение Менделеева-Клапейрона тесно взаимосвязаны - все законы вытекают из уравнения. Они описывают изопроцессы в системах, то есть такие процессы, в результате которых один из основных параметров остается неизменным (изохорный процесс - не изменяется объем, изотермический - постоянна температура, изобарный - происходит изменение температуры и объема при постоянстве давления). Закон Клапейрона-Менделеева стоит разобрать подробнее.
Уравнение состояния идеального газа
Закон Клапейрона-Менделеева выражает зависимость между давлением, объемом, температурой, количеством вещества именно идеального газа. Можно так же выразить зависимость только между основными параметрами, то есть абсолютной температурой, молярным объемом и давлением. Суть не изменяется, так как молярный объем равен отношению объема к количеству вещества.
Закон Менделеева-Клапейрона: формула
Уравнение состояния идеального газа записывается в виде произведения давления на молярный объем, приравненного к произведению универсальной газовой постоянной и абсолютной температуры. Универсальная газовая постоянная - коэффициент пропорциональности, константа (неизменная величина), выражающая работу расширения моля в процессе увеличения значения температуры на 1 Кельвин в условиях изобарного процесса. Ее величина составляет (приблизительно) 8,314 Дж/(моль*К). Если выразить молярный объем, то получится уравнение вида: р*V=(m/М)*R*Т. Или можно привести к виду: р=nkT, где n - концентрация атомов, к - постоянная Больцмана (R/NА).
Решение задач
Закон Менделеева-Клапейрона, решение задач с его помощью значительно облегчают расчетную часть при проектировании оборудования. Закон при решении задач применяется в двух случаях: задано одно состояние газа и его масса и при неизвестности величины массы газа известен факт ее изменения. Необходимо учитывать, что в случае многокомпонентных систем (смеси газов) записывается уравнение состояния для каждого компонента, т. е. для каждого газа в отдельности. Для установления связи между давлением смеси и давлениями компонентов используется закон Дальтона. Также стоит помнить, что для каждого состояния газа описывается отдельным уравнением, далее решается уже полученная система уравнений. И, наконец, необходимо всегда помнить, что в случае уравнения состояния идеального газа температура является абсолютной величиной, ее значение обязательно берется в Кельвинах. Если в условиях задачи температура измеряется в градусах Цельсия или в каких-либо других, то необходимо произвести перевод в градусы Кельвина.